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如圖，在三棱錐Ｐ－ABC中, AB="AC=4," D、E、F分別為PA、PC、BC的中點, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.

（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAF；

（Ⅱ）求直線AB與平面PAF所成的角.

 

【答案】

（1）要證明線面垂直關鍵是對于AF⊥BC垂直的證明，以及平面PBC⊥平面ABC的證明，來得到。

（2）AB與平面PAF所成的角為300.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）證明：連結AF, ∵  AB="AC," F為BC的中點,

∴  AF⊥BC, ………………（ 1 分）

又平面PBC⊥平面ABC, 且平面PBC平面ABC于BC,

∴  AF⊥平面PBC. （  2 分）

又∵  BE平面PBC,

∴  AF⊥BE. （ 5 分）

又∵BE⊥DF, DF,

∴  BE⊥平面PAF. （ 5 分）

（Ⅱ）設BEPF="H," 連AH, 由(1)可知AH為AB在平面PAF上的射影,

所以∠HAB為直線AB與平面PAF所成的角.         （  7分）

∵ E 、F分別為PC、BC的中點,

∴H為△PBC的重心, 又BE=3,

∴BH=                        （  9 分）

在Rt△ABH中,              （  10 分）

∴AB與平面PAF所成的角為300.                  （12分）

考點：線面角，線面垂直

點評：解決的關鍵是利用空間中點線面的位置關系來得到證明，以及結合線面角的定義來的得到求解，屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
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如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．

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（本小題滿分13分）

如圖，在三棱錐S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．

(Ⅰ)求證：AD⊥平面SBC；

(Ⅱ)試在SB上找一點E，使得平面ABS⊥平面ADE，并證明你的結論．

 

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如圖，在三棱錐P－ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠PAB＝45°，點D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點。

（1）求證：EF⊥PD；

（2）求直線PF與平面PBD所成的角的大��；

（3）求二面角E－PF－B的大小。

 

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如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求證AC⊥平面DEF；

（2）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

（3）求平面ABD與平面DEF所成銳二面角的余弦值。

 

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