Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（f（x））=x
（1）求出所有滿足條件的一次函數(shù)f（x）
（2）函數(shù)f（x）可以是二次函數(shù)，三次函數(shù)嗎？其他函數(shù)呢？
（3）研究f（x）是否具有某種對(duì)稱性，若有請(qǐng)給出證明，若無(wú)請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式f（x）=ax+b（a≠0），代入f（f（x））=x，由系數(shù)相等列式求解a，b的值，則所有滿足條件的一次函數(shù)f（x）可求；
（2）由f（f（x））=x，兩邊取f^-1，得到f（f（x））=x，說(shuō)明滿足f（f（x））=x的函數(shù)f（x）具有反函數(shù)，由此斷定f（x）不可能是二次函數(shù)或三次函數(shù)，并且驗(yàn)證函數(shù)f（x）=

1

x

滿足等式；
（3）設(shè)出f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)（a，b），借助于f（x）=f^-1（x）證明點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y=f（x）的圖象上．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），
由f（f（x））=x，得a（ax+b）+b=a²x+ab+b=x，
∴

a2=1      ① ab+b=0②

，
解①得，a=±1，
當(dāng)a=1時(shí)，代入②得，b=0；
當(dāng)a=-1時(shí)，代入②得，b∈R．
∴滿足f（f（x））=x的一次函數(shù)為f（x）=x或f（x）=-x+b（b∈R）；
（2）由f（f（x））=x，得f^-1[f（f（x））]=f^-1（x），∴f（x）=f^-1（x）．
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)為同一函數(shù)．
∵二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集上不存在反函數(shù)，∴f（x）不可能為二次函數(shù)；
設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0），
當(dāng)a＞0時(shí)，存在一個(gè)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，存在一個(gè)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
∴三次函數(shù)的圖象不關(guān)于y=x對(duì)稱，則f（x）不可能為三次函數(shù)；
∵函數(shù)f（x）=

1

x

的反函數(shù)是本身，∴當(dāng)f（x）=

1

x

時(shí)有f（f（x））=x；
（3）f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
事實(shí)上，設(shè)（a，b）為函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)，則b=f（a），
∴f^-1（b）=f^-1（f（a））=f（f^-1（a）），即a=f（b）．
而（a，b）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（b，a），說(shuō)明（b，a）滿足y=f（x）成立．
∴若f（x）=f^-1（x），則其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式即常用求法，考查了函數(shù)與其反函數(shù)圖相間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用比較系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了學(xué)生的抽象思維能力，是中檔題．