Question

一項“過關(guān)游戲“規(guī)則規(guī)定：在第n 關(guān)要拋擲骰子n次，若這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2^n-1+1 （n∈N*），則算過關(guān)．
（1）求在這項游戲中第三關(guān)過關(guān)的概率是多少？
（2）若規(guī)定n≤3，求某人的過關(guān)數(shù)ξ的期望．

Answer 1

分析：（1）在這項游戲中第三關(guān)過關(guān)包括第三關(guān)出現(xiàn)點數(shù)之和沒有大于5，而第三關(guān)出現(xiàn)點數(shù)之和為3，4，5的次數(shù)分別為1，3，6，根據(jù)古典概型的概率公式和對立事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意的變量的可能取值0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和相互獨立事件的概率寫出概率的值，寫出分布列和期望值，數(shù)字運算比較麻煩，注意不要出錯．

解答：解（1）設(shè)第三關(guān)不過關(guān)事件為A，則第三關(guān)過關(guān)事件為

.

A

．
由題設(shè)可知事件A是指第三關(guān)出現(xiàn)點數(shù)之和沒有大于5．
因為第三關(guān)出現(xiàn)點數(shù)之和為3，4，5的次數(shù)分別為1，3，6知
P（A）=

1+3+6

216

=

5

108

，
∴P（

.

A

）=1-

5

108

=

103

108

．
（2）設(shè)第一關(guān)不過關(guān)的事件為B，第二關(guān)不過關(guān)的事件為C．
依題意，得P（B）=

2

6

=

1

3

，P（

.

B

）=

2

3

，P（C）=

1+2

36

=

1

12

，P（

.

C

）=1-

1

12

=

11

12

．
∵n≤3，
∴ξ的取值分別為0，1，2，3
∴P（ξ=0）=

1

3

，P（ξ=1）=

2

3

×

1

12

=

1

18

P（ξ=2）=

2

3

×

11

12

×

5

108

=

55

1944

P（ξ=3）=

2

3

×

11

12

×

103

108

=

1133

1944

∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	1 3	1 18	55 1944	1133 1944

∴Eξ=0×

1

3

+1×

1

18

+2×

55

1944

+3×

1133

1944

=

3617

1944

點評：本題考查等可能事件的概率，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題的數(shù)字運算比較麻煩，注意不要出錯．