Question

（2012•韶關(guān)二模）數(shù)列{a_n}對任意n∈N^*，滿足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若bn=(

1

3

)an+n，求{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=1數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=1，再由a₃=2，求出首項(xiàng)，從而得到{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得，bn=(

1

3

)n-1+n，拆項(xiàng)后分別利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由已知得a_n+1-a_n=1數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=1．…（2分）
又a₃=2，得a₁=0，所以　a_n=n-1．…（4分）
（2）由（1）得，bn=(

1

3

)n-1+n，
所以Sn=(1+1)+(

1

3

+2)+…+(

1

3

)n-1+n=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

+(1+2+3+…+n)，…（6分）
故 Sn=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

n(n+1)

2

=

3-31-n

2

+

n(n+1)

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．