Question

直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個公共點，則直線l的方程是

y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2

．

Answer 1

分析：當a=0時，由直線方程知b≠0，直線是y軸，與雙曲線由兩個交點，不和題意．當a≠0時，化一般式為斜截式，和雙曲線方程聯立后得到關于x的方程，當二次項系數等于0時，直線與雙曲線有一個交點，求出a，b的關系，得到直線方程，當二次項系數不等于0時，由判別式等于0，求出b=0，得另一直線的方程．

解答：解：當a=0時，b≠0，直線l：bx+ay-2a=0化為x=0，與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1有2個公共點，不合題意；
當a≠0時，直線l：bx+ay-2a=0化為y=-

b

a

x+2．
聯立

y=- b a x+2 - x2 9 + y2 4 =1

，得（9b²-4a²）x²-36abx=0．
若9b²-4a²=0，即

b

a

=±

2

3

，方程（9b²-4a²）x²-36abx=0有一解，
即直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個公共點，
此時直線l的方程為y=-

2

3

x+2或y=

2

3

x+2；
若9b²-4a²≠0，由△=1296a²b²=0，得b=0．
此時直線l：bx+ay-2a=0化為y=2，與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個公共點；
綜上，直線l：bx+ay-2a=0與雙曲線-

x2

9

+

y2

4

=1只有一個公共點的直線l的方程為：
y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．
故答案為：y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用判別式法分析方程解得個數，解答此題的關鍵是明確a，b不能同時為0．此題是中檔題．