Question

已知f（x）=e^x-kx
①若k=e³求 f（x）的單調(diào)區(qū)間．
②若對(duì)任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，求k的取值范圍？
③若f（x）=0有兩相異實(shí)根，求k的取值范圍？

Answer 1

分析：①由f（x）=e^x-e³x，知f'（x）=e^x-e³，令f'（x）＞0，得x＞3．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
②對(duì)任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，即對(duì)任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，即x≥0時(shí)，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．當(dāng)k≤1時(shí)，x≥0有f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f_min（x）=f（0）=1＞0滿足題意．由此能夠求出k的取值范圍．
③若f（x）=0有兩相異實(shí)根，又f′（x）=0至多只有一解，所以有y=f（x）的極小值存在且小于0，即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：①∵f（x）=e^x-e³x，
∴f'（x）=e^x-e³
令f'（x）＞0則e^x-e³＞0，
得x＞3，
∴f（x）的單調(diào)増區(qū)間為[3，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，3]．
②對(duì)任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，
即對(duì)任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，
即x≥0時(shí)，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．
當(dāng)k≤1時(shí)，x≥0有f'（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
則f_min（x）=f（0）=1＞0滿足題意．
當(dāng)k＞1時(shí)，令f′（x）=e^x-k=0，即e^x=k，
∴x=lnk＞0．∴fmin(x)=f(lnk)=k-klnk.
∴k-lnk＞0，即k＜e．
③若f（x）=0有兩相異實(shí)根，又f′（x）=0至多只有一解，
∴有y=f（x）的極小值存在且小于0，
即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，
∵k＞0，
∴1-lnk＜0，即lnk＞1，
∴k＞e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查f（x）的單調(diào)區(qū)間的求法和求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上求函數(shù)最值的應(yīng)用，是歷年高考的重點(diǎn)題型．