Question

（平）已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且

an+1

an

=kn+1．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)g(x)=

anxn-1

(n-1)!

，f（x）是數(shù)列{g（x）}的前n項和，求f（x）的解析式；
（3）求證：不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

an+1

an

=

a n

an-1

+1=

a2

a1

+n-1，由

a2

a1

=k+1，知

an+1

an

=n+k=kn+1，由此能求出k．
（2）由

an

an-1

=n-1+1=n，知a_n=n•a_n-1=n（n-1）•a_n-2=…=n!，由g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=

n!•xn-1

(n-1)!

=n•x^n-1，能求出f（x）的解析式．
（3）由f（2）=n（1+2^n-1），知

3

n

g(3)=

3

n

•n•3n-1=3n，故不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立等價于n（1+2^n-1）＜3ⁿ對n∈N₊恒成立．用數(shù)學(xué)歸納法能夠證明之．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，
且

an+1

an

=kn+1，
∴

an+1

an

=

a n

an-1

+1=

an-1

an-2

+1+1=…=

a2

a1

+n-1，
∵

a2

a1

=k+1，
∴

an+1

an

=n+k=kn+1，
∴（n-1）k=n-1，
∴k=1．
（2）∵

an+1

an

=kn+1，k=1，
∴

an

an-1

=n-1+1=n，
∴a_n=n•a_n-1=n（n-1）•a_n-2=…=n!，
∵g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=

n!•xn-1

(n-1)!

=n•x^n-1，
∴g（1）=n，g (2)=n• 2n-1，g（3）=n•3^n-1，…，g（n）=n•n^n-1，
∵f（x）是數(shù)列{g（x）}的前n項和，
∴f（x）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）
=n+n•2^n-1+n•3^n-1+…+n•n^n-1
=n（1+2^n-1+3^n-1+…+n^n-1）．
證明：（3）∵f（2）=n（1+2^n-1），

3

n

g(3)=

3

n

•n•3n-1=3n，
∴不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立等價于n（1+2^n-1）＜3ⁿ對n∈N₊恒成立．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，1×（1+1）=2＜3，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即k（1+2^k-1）＜3^k成立，
則當(dāng)n=k+1時，（k+1）（1+2^k）=2k+1+2k•2^k-1+2•2^k-1+1-k
=2k•3^k+k•2^k+1-k
＜3k•3^k+1-k
＜3^k+1，成立．
由①②知n（1+2^n-1）＜3ⁿ對n∈N₊恒成立．
∴不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．