Question

3．集合M的若干個子集的集合稱為集合M的一個子集族．對于集合{1，2，3…n}的一個子集族D滿足如下條件：若A∈D，B⊆A，則B∈D，則稱子集族D是“向下封閉”的．
（Ⅰ）寫出一個含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D并計算此時$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$的值（其中|A|表示集合A中元素的個數(shù)，約定|ϕ|=0；$\sum_{A∈D}{\;}$表示對子集族D中所有成員A求和）；
（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封閉的”子集族，對?A∈D，記k=max|A|，$f（k）=max\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$（其中max表示最大值），
（�。┣骹（2）；
（ⅱ）若k是偶數(shù)，求f（k）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D，并計算此時$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$的值；
（Ⅱ）設(shè){1，2，3…n}的所有不超過k個元素的子集族為D_k，
（�。┮字�當(dāng)D=D₂時，$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$達(dá)到最大值，求出f（2）的值即可；
（ⅱ）設(shè)D是使得k=max|A|的任一個“向下封閉”的子集族，記D=D′∪D''，其中D′為不超過k-2元的子集族，D''為k-1元或k元的子集，則求出$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$，設(shè)D''有l(wèi)（$l≤C_n^k$）個{1，2，3…n}的k元子集，由于一個k-1元子集至多出現(xiàn)在n-k+1個{1，2，3…n}的k元子集中，而一個k元子集中有$C_k^{k-1}$個k-1元子集，故l個k元子集至少產(chǎn)生$\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}$個不同的k-1元子集，求出f（k）即可．

解答 解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…（2分）
此時$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}={（-1）^0}+{（-1）^1}+{（-1）^1}+{（-1）^2}=0$…（4分）
（Ⅱ）設(shè){1，2，3…n}的所有不超過k個元素的子集族為D_k，
（�。┮字�當(dāng)D=D₂時，$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$達(dá)到最大值，
∴$f（2）={（-1）^0}+{（-1）^1}C_n^1+{（-1）^2}C_n^2=1-n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{{n^2}-3n+2}}{2}$…（6分）
（ⅱ）設(shè)D是使得k=max|A|的任一個“向下封閉”的子集族，記D=D′∪D''，其中D′為不超過k-2元的子集族，D''為k-1元或k元的子集，
則$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$=$\sum_{A∈{D^'}}{{{（-1）}^{|A|}}}+\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}≤f（k-2）+\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}$…8 分
現(xiàn)設(shè)D''有l(wèi)（$l≤C_n^k$）個{1，2，3…n}的k元子集，由于一個k-1元子集至多出
現(xiàn)在n-k+1個{1，2，3…n}的k元子集中，而一個k元子集中有$C_k^{k-1}$個k-1元子集，故l個k元子集至少產(chǎn)生$\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}$個不同的k-1元子集．$\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}≤l-\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}=l（1-\frac{k}{n-k+1}）≤C_n^k（1-\frac{k}{n-k+1}）=C_n^k-C_n^{k-1}$$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}≤f（k-2）-C_n^{k-1}+C_n^k=f（k）$
由（ⅰ）得$f（k）={（-1）^0}+{（-1）^1}C_n^1+{（-1）^2}C_n^2+…+{（-1）^k}C_n^k=\sum_{i=1}^k{{{（-1）}^i}C_n^i}$…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了子集與真子集，考查了新定義子集族，是中檔題．