Question

橢圓C中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）已知直線l（l不垂直于x軸）交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)O到直線l的距離是．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率得到a，c的關(guān)系，再由橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為可得到點(diǎn)（c，）在橢圓上，代入可得到b的值，再結(jié)合離心率可得到a，c的值，從而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）先設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，從而得到兩根之和與兩根之積的關(guān)系式，進(jìn)而可表示出y₁y₂的關(guān)系式，再由可得到，整理可得到，然后表示出點(diǎn)O到直線l的距離再將代入即可求出點(diǎn)O到直線l的距離為定值，從而得證．
解答：解：（I）設(shè)橢圓，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190337145951155/SYS201310241903371459511020_DA/7.png">，
在橢圓上，則，解得b=1
，圓的方程為
（II）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由
，

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
==
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190337145951155/SYS201310241903371459511020_DA/16.png">，，
即
點(diǎn)O到直線l的距離
即點(diǎn)O到直線l的距離為定值
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個(gè)重點(diǎn)，每年必考．一般都是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結(jié)合題意來(lái)解．