Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在一象限橢圓C上存在一點(diǎn)P，使AP⊥OP，則橢圓的離心率范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由題意，點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，求出該圓的方程；
由圓的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，得出該方程的兩根分別為點(diǎn)P、A的橫坐標(biāo)，得到P的橫坐標(biāo)；
再根據(jù)P的橫坐標(biāo)小于a且大于0，建立關(guān)于a、b、c的不等式，從而求得該橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：如圖所示，
∵AP⊥0P，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為(x-

a

2

)2+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
設(shè)P（m，n），
∵P、A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與x²+y²-ax=0兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴m+a=

-a3

b2-a2

，ma=

-a2b2

b2-a2

，
∴m=

ab2

a2-b2

．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴a＜

2

c，
∴橢圓離心率e=

c

a

＞

2

2

，
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（

2

2

，1）．
故答案為：（

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)注意橢圓以及離心率滿足的條件是什么，是中檔題目．