Question

（本題滿分15分）已知在定義域上是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，圖像如圖所示.
（1）化簡(jiǎn)：；
（2）畫(huà)出函數(shù)在上的圖像；
（3）證明:在上是減函數(shù).

Answer 1

（1）
；
（2）圖像
（3）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

解析試題分析：(I)由于f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),所以可知,因而所求式子的結(jié)果為0.
(II)根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直接可畫(huà)出在對(duì)稱區(qū)間[-b,-a]上的圖像.
（III）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義及函數(shù)的奇偶性進(jìn)行證明.
第一步：取值，第二步：作差變形，第三步根據(jù)差值符號(hào)得到結(jié)論.
（1）
……
（2）圖像……
（3）任取，且          ……
.
又函數(shù)在上是減函數(shù)，所以 . ……
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ed/d/17xp74.png" style="vertical-align:middle;" />是奇函數(shù)，所以，即，
故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).             …….
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性定義，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的圖像.
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的奇偶性一要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二要看f(-x)與f(x)是相等還是互為相反數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明分三個(gè)步驟：一取值，二作差變形，三判斷差值符號(hào).