已知的導(dǎo)函數(shù)，且，設(shè)，

且．

（Ⅰ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

 

【答案】

減 ， 和增 ；（2）（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用 的導(dǎo)函數(shù)找到原函數(shù)即可研究 的單調(diào)性, （Ⅱ）把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式 ,然后通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的值域, （Ⅲ）難點(diǎn)①轉(zhuǎn)化，②注意運(yùn)用第（Ⅱ）問(wèn)產(chǎn)生的新結(jié)論.導(dǎo)致③放縮后進(jìn)行數(shù)列求和.

試題解析：（Ⅰ）由 且 得. 定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092700052759286537/SYS201309270006123985154893_DA.files/image015.png"> 

 

令 ,得 或  

當(dāng) 時(shí),由,得 ;由 ,得,或

 在 上單調(diào)遞減,在 和 上單調(diào)遞增.

當(dāng) 時(shí), 由,得 ;由 ,得,

 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）設(shè) ,令 ,得, ,得,

 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

 在 處有極大值,即最大值0, 同理可證 , 即 

（Ⅲ）由（2）知，

又

即當(dāng)時(shí)取等號(hào).

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),數(shù)列求和及不等式中的放縮法的運(yùn)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是二次函數(shù)，f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）設(shè)t＞0，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S（t）．求S（t）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，設(shè)a=（log 
1
2
4）f（log 
1
2
4），b=
2
f（
2
），c=（lg
1
5
）f（lg
1
5
），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）設(shè)t＞0，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最小值．

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