Question

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）設為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

(1) 或；(2) .

【解析】

試題分析：（1）涉及到圓的弦長問題，我們一般利用弦心距，弦的一半，相應半徑所構成的直角三角形，本題中由弦長為，半徑為2，可求得弦心距為1，此即為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式，可求得斜率．利用方程思想求時要注意直線斜率不存在即直線與軸垂直的情形．否則可能漏．（2）由（1）的分析可知直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等可得圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等，所以我們可設點坐標為，直線的方程分別為，，利用圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等列出關于的方程，再轉化為關于的方程有無窮解問題，從而得解．

試題解析：（1）設直線的方程為，即

由垂徑定理得圓心到直線的距離

結合點到直線的距離公式得

所求直線的方程為或，即或

（2）設點，直線的方程分別為

即

由題意可知圓心到直線的距離等于到直線的距離

即，化簡得，關于的方程由無窮多解，則有

，故.

考點：(1)點到直線距離公式；（2）方程解的個數問題．