Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

（x≥0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，以f（a），f（b），f（c）為三邊都可構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0恒成立等價(jià)于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立．x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，分離參數(shù)-k＜x+

1

x

，利用基本不等式，即可確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

(x＞0)，由（1）知：k＞-2，再進(jìn)行分類討論，利用以f（a），f（b），f（c）為三邊都可構(gòu)成三角形，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵x²+x+1＞0恒成立，∴f（x）＞0恒成立等價(jià)于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，-k＜x+

1

x

，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
（2）f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

(x＞0)
由（1）知：k＞-2
1°、當(dāng)k=1時(shí)，滿足題意；
2°、當(dāng)k＞1時(shí)，f(x)∈(1，1+

k-1

3

]，由題意知：1+1＞1+

k-1

2

，∴1＜k＜4
3°、當(dāng)k＜1時(shí)，f(x)∈[

2+k

3

，1)，于是有2×

2+k

3

＞1，∴1＞k＞-

1

2

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為-

1

2

＜k＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確分類，屬于中檔題．