Question

已知函數(shù)R，a＞1），
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值與a無關(guān)，求a的取值范圍；
（3）若，直接寫出（不需給出演算步驟）關(guān)于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）表達(dá)式形式上提醒我們可以嘗試基本不等式求解，則需要對自變量x的絕對值符號進(jìn)行討論分析．不過要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用條件．
（2）本題需要通過f（x）求出g（x）表達(dá)式，觀察表達(dá)式可知，解決本題的關(guān)鍵是對函數(shù)解析式中絕對值符合的處理，要去掉絕對值符號可以根據(jù)定義分類討論．
（3）需要對變量m分以下兩種情況討論：
解答：解：（1）①x≥0時，∵，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；
②x＜0，∵，
由①②知函數(shù)f（x）的值域為．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0時，∵，
令t=a^x，則，記，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
（i），即時，結(jié)合①知與a無關(guān)；
（ii），即時，，∴h（t）在上是增函數(shù)，，
結(jié)合①知與a有關(guān)；
綜上，若g（x）的最小值與a無關(guān)，則實數(shù)a的取值范圍是．
（3）①時，關(guān)于x的方程f（x）=m的解集為；
②m＞3時，關(guān)于x的方程f（x）=m的解集為或．
點評：（1）去絕對值符號的兩種常用方法：
①絕對值定義法：|x|=
②要去絕對值式子兩端同時平方．
（2）使用均值不等式的條件：
①一正（a，b都是正數(shù)）；
②二定（若求a+b則ab是定值，若求ab則a+b是定值）；
③三等．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時不等式取“=”）．