Question

P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于分別過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)P可構(gòu)成四個(gè)直角三角形．欲使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，必須∠F₁PF₂＞90°，此時(shí) ＜0，∴，由此能夠推導(dǎo)出該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：由題意可知，分別過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)P可構(gòu)成四個(gè)直角三角形．
而當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大，
由條件：欲使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，必須∠F₁PF₂＞90°，
故 ＜0，⇒，
∴，
又∵0＜e＜1，∴．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．