Question

【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取200個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如表1.根據壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡為優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡為次品，其余的燈泡為正品.

表1

壽命（天）	頻數	頻率
	20	0.10
	30	a
	70	0.35
	b	0.15
	50	0.25
合計	200	1

（1）根據表1中的數據，寫出a、b的值；

（2）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，若這n個燈泡的等級情形恰與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值；

（3）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了3個進行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求X的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)4 （3）分布列見解析，期望為

【解析】

（1）由題意可得：，由可得.

（2）由表1知燈泡樣品中優(yōu)等品有50個，正品有100個，次品有50個.

于是，優(yōu)等品、正品和次品的比例為：50:100:50=1:2:1.

所以，按分層抽樣法，購買燈泡數為：.

從而，的最小值為4.

（3） 的所有取值為0、1、2、3.

由題意，知購買一個燈泡，且此燈泡是次品的概率為0.1+0.15=0.25.

從這批次燈泡中購買3個，可看成3次獨立重復試驗，于是，

，

，

，

.

所以，隨機變量的分布列如表2.

表2

	0	1	2	3

從而，的數學期望為：

.