Question

【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如表1.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于500天的燈泡為優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡為次品，其余的燈泡為正品.

表1

壽命（天）	頻數(shù)	頻率
	20	0.10
	30	a
	70	0.35
	b	0.15
	50	0.25
合計(jì)	200	1

（1）根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，寫出a、b的值；

（2）某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個(gè)，若這n個(gè)燈泡的等級(jí)情形恰與按三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值；

（3）某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購買了3個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)4 （3）分布列見解析，期望為

【解析】

（1）由題意可得：，由可得.

（2）由表1知燈泡樣品中優(yōu)等品有50個(gè)，正品有100個(gè)，次品有50個(gè).

于是，優(yōu)等品、正品和次品的比例為：50:100:50=1:2:1.

所以，按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)為：.

從而，的最小值為4.

（3） 的所有取值為0、1、2、3.

由題意，知購買一個(gè)燈泡，且此燈泡是次品的概率為0.1+0.15=0.25.

從這批次燈泡中購買3個(gè)，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，于是，

，

，

，

.

所以，隨機(jī)變量的分布列如表2.

表2

	0	1	2	3

從而，的數(shù)學(xué)期望為：

.