Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁CC₁⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點，E為BC₁的中點
（1）求證：OE∥平面A₁AB；
（2）求二面角A-A₁B-C₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出OE的方向向量，和平面A₁AB的法向量，根據(jù)兩個向量垂直得到線面平行．
（2）求平面A₁BC₁的法向量，根據(jù)二面角A-A₁B-C₁的正弦值，即為兩個平面的法向量夾角的正弦值，由向量夾角公式求得答案．

解答：證明：（1）∵A₁A=A₁C，且O為AC的中點，
∴A₁O⊥AC．
又側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，其交線為AC，且A₁O∈平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥底面ABC．…..（2分）
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知可得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(0，2，

3

)，B（1，0，0），E(

1

2

，1，

3

2

)．則有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．
設(shè)平面AA₁B的一個法向量為

n

=(x，y，z)，…..（4分）
則有{

n • AA1 =0 n • AB =0

，即{

y+ 3 x=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

，
所以

n

=(-1，1，-

3

3

)．
又知

OE

=(

1

2

，1，

3

2

)，…..（6分）
∴

n

•

OE

=0
∴OE∥平面A₁AB．…..（7分）
解：（2）．設(shè)平面A₁BC₁的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
又知

A1C1

=(0，2，0)，

A1B

=(1，0，-

3

)
由 {

m • A1B =0 m • A1C1 =0

得  {

2y=0 x- 3 z=0

可得

m

=(

3

，0，1)…..（9分）
則cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

2 7

7

，…..（11分）
所以二面角A-A₁B-C₁的正弦值為

21

7

．…..（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，二面角的平面角的求法，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．