Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

(x＞0，a∈R)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[1，2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

∵函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

(x＞0，a∈R)，
∴f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
（1）①當(dāng)a≤0時，
∵f'（x）≥0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，由f'（x）=0，得x=a，
∵當(dāng)0＜x＜a時，f'（x）＜0，
當(dāng)x＞a時，f'（x）＞0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（a，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（0，a）．
（2）①當(dāng)a≤1時，∵f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴y_min=f（1）=a；
②當(dāng)a≥2時，∵f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴ymin=f(2)=ln2+

a

2

；
③當(dāng)1＜a＜2時，由（1）知：f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，
f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=a時，y_min=f（a）=lna+1．