Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若?x≥1，f（x）＜g（x），求實數a的取值范圍；
（2）證明：“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要條件是“a=1”．

Answer 1

分析：（1）記F（x）=f（x）-g（x），求導函數，分類討論，確定函數F（x）的最小值，令最小值小于0，即可求得實數a的取值范圍；
（2）證明分充分性與必要性進行證明，搞清楚條件與結論．

解答：（1）解：記F（x）=f（x）-g（x），則F′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，x≥1，
當a≤0時，F(xiàn)'（x）＞0恒成立，故F'（x）為[1，+∞）上的單調增函數，所以F_min（x）=F（1）=1，（2分）
當a＞0時，由F'（x）=0得x=

a 2

（負值舍去），
若

a 2

≤1，即0＜a≤2時，F(xiàn)'（x）≥0恒成立，故F（x）為[1，+∞）上的單調增函數，所以F_min（x）=F（1）=1，（4分）
若

a 2

＞1，即a＞2時，F(xiàn)'（x）在[1，

a 2

)上恒小于0，在(

a 2

，+∞)上恒大于0，
所以F（x）在[1，

a 2

)上的單調遞減，在[

a 2

，+∞)上的單調遞增，
故Fmin(x)=F(

a 2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)，
綜上所述，Fmin(x)=

1，a≤2 a 2 (1-ln a 2 )，a＞2

（6分）
所以

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，且a＞2，解得a＞2e．（8分）
（2）證明：1°充分性：當a=1時，方程x²-lnx=x，即x²-lnx-x=0，記G（x）=x²-lnx-x，x＞0
由G′(x)=2x-

1

x

-1=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

=0得x=1（負值舍去），
所以G（x）在（0，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，
故G_min（x）=g（1）=0，即G（x）=x²-lnx-x在（0，+∞）有唯一解x=1，得證．（11分）
2°必要性：因為方程x²-alnx=ax（a＞0）有唯一解，記h（x）=x²-alnx-ax，x＞0
由h′(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

=0得x0=

a+ a2+8a

4

（負值已舍），
所以h（x）在（0，x₀）上單調遞減，在[x₀，+∞）上單調遞增，
故h_min（x）=h（x₀）=0，且h'（x₀）=0（13分）
即

x02-alnx0-ax0=0    ① 2x02-ax0-a=0          ②

②-①×2得2lnx₀+x₀-1=0，x₀＞0，記s（x₀）=2lnx₀+x₀-1，x₀＞0，
則函數s（x₀）為（0，+∞）上的單調增函數，且s（1）=0，所以方程2lnx₀+x₀-1=0有唯一解x₀=1，
將x₀=1代入②式得a=1，即證．
由1°、2°得，“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要條件是“a=1”．（16分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的圖象與性質等基礎知識，考查靈活運用數形結合、化歸與轉化、分類與討論思想進行運算求解、推理論證的綜合能力．