已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率是，且左頂點與右焦點F的距離為3．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點F的直線交橢圓C于A、B兩點，A、B在右準線l上的射影分別為M、N．

求證：AN與BM的交點在x軸上．

答案：
解析：

　　(1)解：設橢圓C的方程為()

　　則由，得

　　所以橢圓C的方程為……(6分)

　　(2)證明：①當AB垂直于軸時，AB的坐標分別為，，AN與BM的交點為在x軸上．…………(8分)

　�、诋擜B不垂直于x軸時，設直線AB的方程為，

　　代入橢圓，得

　　設，，則，，

　　且…………(10分)

　　∵直線AN方程是，直線BM方程是．

　　聯(lián)列，得，消去y，得：．

　　即即，……(12分)

　　把代入直線AN的方程　

　　得

　　

　　∴AN與BM交于點是x軸上一定點．…………(14分)

　　(2)解法二：如圖

　　設AF＝n，則AM＝2n，設BF＝m，則BN＝2m，

　　在△ABN和△BAM中，F(xiàn)H∥AM，F(xiàn)H1∥BN，

　　∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1

　　∴，…………(10分)

　　同理可推，

　　∴，…………(12分)

　　∴，∴H與H1重合∴AN與BM交點是x軸上一定點．…………(14分)


練習冊系列答案
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（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；

（3）過原點O的直線交橢圓于點B、C，求△ABC面積的最大值。

 

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