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已知在正方體ABCD－A′B′C′D′中，M、N分別是A′D′、A′B′的中點，在該正方體中是否存在過頂點且與平面AMN平行的平面？若存在，試作出該平面，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．


[解析]　存在．與平面AMN平行的平面有以下三種情況(E、F分別為所在棱的中點)：

下面以圖(1)為例進行證明．

∵四邊形ABEM是平行四邊形，∴BE∥AM，

又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDFE.

∵MN是△A′B′D′的中位線，∴MN∥B′D′，

∵四邊形BDD′B′是平行四邊形，

∴BD∥B′D′，∴MN∥BD，

又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，

∴MN∥平面BDFE，

又AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，

∴由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDFE.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：


二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為(　　)

A．150°                                                        B．45° 

C．60°                                                          D．120°

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科目：高中數學 來源： 題型：


側棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點A作截面AEF，則截面△AEF周長的最小值為________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


若直線l不平行于平面α，且l⊄α，則(　　)

A．α內的所有直線與l異面

B．α內不存在與l平行的直線

C．α內存在唯一的直線與l平行

D．α內的直線與l都相交

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科目：高中數學 來源： 題型：


設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　)

A．若l∥α，l∥β，則α∥β

B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β

C．若l⊥α，l∥β，則α∥β

D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知直線l⊥平面α，直線m⊂平面β，有下列命題：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正確命題的序號是________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一條直線上”是“這四個點在同一個平面上”的(　　)

A．充分非必要條件                                      B．必要非充分條件

C．充分必要條件                                          D．既非充分又非必要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：


(2013·鹽城模擬)如圖，P為▱ABCD所在平面外一點，M，N分別為AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.

(1)判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論；

(2)判斷MN與平面PAD的位置關系，并證明你的結論．

[

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科目：高中數學 來源： 題型：


若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　)

A.                                                              B.

C．1                                                             D．2

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