Question

已知拋物線x²=y，O為坐標原點．
（Ⅰ）過點O作兩相互垂直的弦OM，ON，設M的橫坐標為m，用n表示△OMN的面積，并求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）過拋物線上一點A（3，9）引圓x²+（y-2）²=1的兩條切線AB，AC，分別交拋物線于點B，C，連接BC，求直線BC的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由OM⊥ON，確定M，N的坐標，表示出|OM|=，|ON|=，從而可得△OMN的面積，利用基本不等式可求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）設B（），C（），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），利用直線AB\AC與圓x²+（y-2）²=1相切，建立方程，從而可得以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根，再聯立方程組，利用韋達定理，可得直線BC的斜率，化簡可得結論．
解答：解：（Ⅰ）設M（），N（）．
由OM⊥ON得，∴x₁x₂=-1．
因為x₁=m，所以．
所以|OM|=，|ON|=．
所以n==××==1．
所以，當m=1時，△OMN面積取得最小值1．
（Ⅱ）設B（），C（），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），
因為直線AB，AC與圓x²+（y-2）²=1相切，
所以==1．
所以，．
所以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根．
所以．
由方程組得x²-k₁x-9+3k₁=0．
所以x₃+3=k₁，同理可得：x₄+3=k₂．
所以直線BC的斜率為=x₄+x₃=k₁+k₂-6=-．
點評：本題考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．