Question

如圖，在長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，AD=CD=4，AD₁=5，M是線段B₁D₁的中點．（1）求證：BM∥平面D₁AC；
（2）求直線DD₁與平面D₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點，DA，DA，DD₁分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由坐標(biāo)法可證

BM

∥

ND1

，進(jìn)而可得BM∥ND₁．由線面平行的判定定理可得；（2）設(shè)平面D₁AC的法向量為

n

=（x，y，z），根據(jù)

n

•

AC

=-4x+4y=0，且

n

•

AD1

=-4x+3z=0，可求，進(jìn)而可得cos＜

DD1

，

n

＞，即得所求．

解答： 解：（1）在長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
∵AD=4，AD₁=5，∴DD₁=

AD12-AD

2=3，
以D為原點，DA，DA，DD₁分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
根據(jù)題意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），
B₁（4，4，3），D₁（0，0，3），線段B₁D₁的中點為M（2，2，3），線段AC的中點為N（2，2，0）．
∴

BM

=（-2，-2，3），

ND1

=（-2，-2，3）．∴

BM

∥

ND1

，∴BM∥ND₁．
∵BM?平面D₁AC，ND₁?平面D₁AC，∴BM∥平面D₁AC．
（2）∵

DD1

=（0，0，3），

AC

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，3），
設(shè)平面D₁AC的法向量為

n

=（x，y，z），
根據(jù)已知得

n

•

AC

=-4x+4y=0，且

n

•

AD1

=-4x+3z=0，
取x=1，可得y=1，z=

4

3

，∴

n

=（1，1，

4

3

）是平面D₁AC的一個法向量，
∴cos＜

DD1

，

n

＞=

DD1 • n

| DD1 || n |

=

2 34

17

，
∴直線DD₁與平面D₁AC所成角的正弦值等于

2 34

17

點評：本題考查空間線面的位置關(guān)系，涉及線面平行的判定和線面角的正弦值，建系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．