Question

已知函數(shù)f(x)=x³+bx²-3x(b∈(-∞，0])，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)遞增，
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁、x₂，都有[f(x₁)-f(x₂)]≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值；
(3)若過(guò)點(diǎn)M(2，m)(m≠2)，可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題意得f′(x)=3x²+2bx-3，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)遞增，
所以，對(duì)x∈[1，+∞)恒成立，
所以對(duì)x∈[1，+∞)恒成立，
令，則，所以當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，ψ′(x)＜0恒成立，
所以函數(shù)ψ(x)是[1，+∞)上的單調(diào)減函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，函數(shù)ψ(x)的最大值是ψ(1)=0，
故2b≥0，即b≥0，又因?yàn)閎∈(-∞，0]，所以b=0，
∴f(x)=x³-3x。
(2)由(1)可得，f′(x)=3x²-3，由f′(x)=3x²-3=0解得x=±1，

∵f(-1)=2，f(1)=-2，
∴當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，，
則對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有，
所以c≥4，所以c的最小值為4。
(3)∵點(diǎn)M(2，m)(m≠2)不在曲線y=f(x)上，
∴設(shè)切點(diǎn)為(x₀，y₀)，則，
，
∴切線的斜率為，則，
即，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M(2，m)(m≠2)，可作曲線y=f(x)的三條切線，
所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
即函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則g′(x)=6x²-12x，令g′(x)=0，解得x=0或x=2，

由題意可得g(0)＞0，且g(2)＜0，
所以6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是-6＜m＜2。