Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；
（Ⅱ）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系，建立方程關(guān)系即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，下面用定義證明
證明：任取0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
又∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂，x₁-x₂＜0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增…（8分）
（Ⅱ）∵f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，
則

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，根據(jù)函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．