Question

10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：①n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1²+3²+5²+…+（2k-1）²=$\frac{1}{3}$k（4k²-1），
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+3²+5²+…+（2k-1）²+（2k+1）²
=$\frac{1}{3}$k（4k²-1）+（2k+1）²=$\frac{1}{3}$[4（k+1）³-（k+1）]=$\frac{1}{3}$（k+1）[4（k+1）²-1]，等式成立．
由①②可知1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟與思路，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．