Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的一點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)⊙O所在的平面為α，證明PA⊥BC，AC⊥BC，然后證明BC⊥平面PAC，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面PBC．
（2列出三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC×PA求出底面面積，棱錐的高，即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）證明：設(shè)⊙O所在的平面為α，
依題意，PA⊥α，BC?α，∴PA⊥BC…（2分）
∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的一點(diǎn)，∴AC⊥BC…（3分）
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC…（5分）
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC…（7分）
（2）∵PA⊥α，∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC×PA…（9分）
∵AB=2，∠ABC=30°，AC⊥BC，∴AC=1，BC=

3

…（11分）
S△ABC=

1

2

×AC×BC=

3

2

…（13分）
V=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．