Question

已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象指出關(guān)于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數(shù) 分別為3個，4個時，c的值或范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象確定方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數(shù)分別為3個，4個時，c滿足的條件．

解答：解：（1）當(dāng)x＞0時，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
∴設(shè)f（x）=a（x-1）（x-5），
則函數(shù)過（3，-4），
即-4a=-4，
∴a=1，
∴x＞0時，f（x）=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=x²+6x+5
∵f（x）是奇函數(shù)，
f（-x）=-f（x），即f（-x）=x²+6x+5=-f（x），
∴f（x）=-x²-6x-5，x＜0，
又f（0）=0，
∴f（x）=

x2-6x+5，x＞0 0，  x=0 -x2-6x-5，x＜0

．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∴f（x）=c的根的個數(shù)
①3個根：c=4或c=-4
②4個根：-4＜c＜4且c≠0．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)的圖象應(yīng)用，利用函數(shù)圖象可以確定方程根的個數(shù)．