直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D為CC1的中點，
CC1
AC
=λ
（1）λ為何值時，A1D⊥平面ABD；
（2）當A1D⊥平面ABD時，求C1到平面ABD的距離；
（3）當二面角A-BD-C為60°時，求λ的值．
以
AB
，
AC
，
AA1
為正交基底建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，λa)，D(0，a，
1
2
λa)，A1（0，0，λa）
（1）
A1D
=(0，a，-
λa
2
)，
AD
=(0，a，
λa
2
)
∵A1D⊥平面ABD∴A1D⊥AD
∴0+a2-
λ2a2
4
=0有λ=2
（2）λ=2時，
C1D
=(0，0，-a)，
A1D
=（0，a，-a）
∴C1到平面ABD的距離d=|
C1D
•
A1D
|
A1D
|
|=
2
2
a
（3）取BC中點E，連接AE，則AE⊥BC，又BB1⊥AE∴AE⊥平面BCD
AE
=(
a
2
，
a
2
，0)，設
m
=(x，y，z)為平面ABD的一個法向量
由
m
•
AB
=0
m
•
AD
=0
得
x=0
y=-
λz
2

取z=1得
m
=(0，-
λ
2
，1)，由cos60°=|
m
•
AE
|
m
|•|
AE
|
|得λ=2
練習冊系列答案
相關習題

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如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
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（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
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（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求證：直線PB1⊥平面PAC．

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已知直線l⊥平面α，有以下幾個判斷：
①若m⊥l，則m∥α，
②若m⊥α，則m∥l
③若m∥α，則m⊥l，
④若m∥l，則m⊥α，
上述判斷中正確的是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=
6
，∠BAC=60°，E為AC的中點；現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，使點D在平面ABC上的射影H落在BC上．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
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6
2
，求此時異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
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（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

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