Question

從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵皮的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，且要求長(zhǎng)方體的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)的比不超過(guò)常數(shù)t．問(wèn)：
（1）求長(zhǎng)方體的容積V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）x取何值時(shí)，長(zhǎng)方體的容積V有最大值？

Answer 1

分析：（1）先求出長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)和高，便可求出長(zhǎng)方體的容積V解析式．
（2）把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號(hào)成立條件能否滿(mǎn)足，
當(dāng)?shù)忍?hào)成立條件不能滿(mǎn)足時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)為2a-2x，高為x，所以，容積V=4（x-a）²x，
由

x

2a-2x

≤t，得 0＜x≤

2ta

1+2t

，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x）≤2(

a-x+a-x+2x

3

)3=

16a3

27

，
當(dāng)a-x=2x，即x=

a

3

時(shí)等號(hào)成立．
①當(dāng)

a

3

≤

2ta

1+2t

，即t≥

1

4

，Vmax=

16a3

27

；
②當(dāng)

a

3

＞

2ta

1+2t

，即0＜t＜

1

4

時(shí)，V′(x)=12(x-

2a

3

)2-

4a2

3

，
則V′（x）在(0，

a

3

)上單調(diào)遞減，
∴V′(x)≥V′(

2ta

1+2t

)＞V′(

a

3

)=0，
∴V（x）在(0，

2ta

1+2t

]單調(diào)遞增，
∴V(x)max=V(

2ta

1+2t

)=

8ta3

(1+2t)3

總之，若0＜t＜

1

4

，則當(dāng)x=

2ta

1+2t

時(shí)，Vmax=

8ta3

(1+2t)3

；
若t≥

1

4

，則當(dāng)x=

a

3

時(shí)，Vmax=

16a3

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．