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5.已知P(2,1)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1內一點,橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$,則橢圓以P為中點的弦所在直線方程是16x+9y-41=0..

分析 設以P為中點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),得到x1+x2=4,y1+y2=2,作差法求出KAB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$,根據$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$,求出k的值,從而求出直線方程即可.

解答 解:設以P為中點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4,y1+y2=2,
∵A、B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點,
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1①,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1②,
①-②得:$\frac{{(x}_{1}{+x}_{2}){(x}_{1}{-x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{{(y}_{1}{+y}_{2}){(y}_{1}{-y}_{2})}{^{2}}$=0,
∴$\frac{2{(x}_{1}{-x}_{2})}{{a}^{2}}$=-$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{^{2}}$,
∴KAB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$,
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8}{9}$,
∴KAB=-$\frac{16}{9}$,
故直線AB的方程是:16x+9y-41=0,
以P為中點的弦所在直線方程是:
16x+9y-41=0,
故答案為:16x+9y-41=0.

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握直線與橢圓的位置關系的判定,以及掌握弦中點與中點弦問題.

練習冊系列答案
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