Question

已知P，A，B，C是球O球面上四點(diǎn)，△ABC是正三角形，三棱錐P-ABC的體積為

9

4

3

，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，則球O的表面積為（　�。�

• A、

  16π

  3

• B、8π
• C、

  32π

  3

• D、16π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長(zhǎng)為2a，由已知條件推導(dǎo)出a=

3

4

R，再由三棱錐P-ABC的體積為

9

4

3

，求出R=2，由此能求出球O的表面積．

解答： 解：如圖，P，A，B，C是球O球面上四點(diǎn)，△ABC是正三角形，
設(shè)△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長(zhǎng)為2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=

R

2

，BS=

3

2

R，
∴

2

3

3

a=

3

2

R，解得a=

3

4

R，2a=

3

2

R，
∵三棱錐P-ABC的體積為

9

4

3

，
∴

1

3

×

1

2

S△ABC•PS=

9

4

3

，
即

1

3

×

1

2

×

1

2

×

3

2

R×

3

2

Rsin60°×

3

2

R=

9

4

3

，
解得R=2，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．