Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1與時，都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若對x∈[-1，2]都有恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)，可得f′（x）=3x²+2a x+b．
由題設，∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1與時，都取得極值．
∴x=1，x=-為f′（x）=0的解．
∴-a=1-，=1×（-）．
解得a=-，b=-2（4分）
此時，f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（x+），x=1與都是極值點．（5分）
（2）f （x）=x³-x²-2 x+c，由f （-1）=-1-+2+c=，∴c=1．
∴f （x）=x³-x²-2 x+1．

x	（-∞，-）	（-，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

∴f （x）的遞增區(qū)間為（-∞，-），及（1，+∞），遞減區(qū)間為（-，1）．
當x=-時，f （x）有極大值，f （-）=；
當x=1時，f （x）有極小值，f （1）=-（10分）
（3）由（1）得，f′（x）=（x-1）（3x+2），f （x）=x³-x²-2 x+c，
f （x）在[-1，-）及（1，2]上遞增，在（-，1）遞減．
而f （-）=--++c=c+，f （2）=8-2-4+c=c+2．
∴f （x）在[-1，2]上的最大值為c+2．
∴
∴
∴或
∴0＜c＜1或c＜-3（16分）
分析：（1）求出f′（x）并令其等于0得到方程，把x=1，x=-代入求出a、b即可；
（2）利用函數(shù)與導函數(shù)，建立表格，根據(jù)導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值；
（3）求出函數(shù)的最大值為f（2），要使對x∈[-1，2]都有恒成立，利用函數(shù)的最大值，建立不等式，從而可求出c的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)極值，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及恒成立問題的處理，解題的關(guān)鍵是正確求出導函數(shù)．