已知圓，直線

（1）求證：直線恒過定點

（2）判斷直線被圓截得的弦長何時最短？并求截得的弦長最短時的值及最短長度。

 

【答案】

（1）見解析（2）當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短，此時，最短弦長為

【解析】

試題分析：（1）證明：直線的方程，

經(jīng)整理得，                                            ……1分

由的任意性，                                                   ……3分

  恒過定點.                                                    ……5分

（2）解：因為直線恒經(jīng)過圓內(nèi)一點，當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短.       ……7分

由、，直線斜率，

又直線與直線垂直， 直線的斜率為2，

于是，,                                                     ……9分

最短弦長為,                                                       ……11分

綜上所述，當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短，

此時，最短弦長為.                                                    ……12分

考點：本小題主要考查直線過定點、直線與圓的位置關(guān)系、弦長等問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

點評：當(dāng)直線與圓相交時，圓心到直線的距離、半弦長和半徑組成一個直角三角形，這個直角三角形在解題時經(jīng)常用到.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓，直線.

（1）證明：不論為何值時，直線和圓恒相交于兩點；

（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河南扶溝高級中學(xué)高一第三次考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

已知圓，直線
（1）求證：直線恒過定點
（2）判斷直線被圓截得的弦長何時最短？并求截得的弦長最短時的值及最短長度。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年吉林省扶余一中高一上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試（帶解析）卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知圓C:,直線L:
(1) 證明:無論取什么實數(shù)，L與圓恒交于兩點；
(2) 求直線被圓C截得的弦長最小時直線L的斜截式方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆海南省高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

、已知圓，直線

（1）求證：直線恒過定點；

（2）設(shè)與圓交于兩點，若，求直線的方程

 

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