Question

已知圓C與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于

2

．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）與圓C相切，求mn的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出圓的方程，利用圓心C到直線y=-x的距離等于

2

．求出圓心坐標(biāo)，得到圓的方程．
（2）根據(jù)直線和圓相切可得

|n+m-mn|

n2+m2

=1，化簡可得 m+n=

mn+2

2

，再由基本不等式可得 (

mn

)2-4

mn

+2≥0，解得

mn

≥2+

2

，從而得到 mn≥6+4

2

．

解答：解：（1）因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，圓心在y=x（x＞0），
設(shè)圓C方程為（x-a）²+（y-a）²=a²，圓心C到直線y=-x的距離等于

2

，
所以

2

a=

2

，a=1．
∴圓C方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
 （2）直線l方程化為為nx+my-mn=0，∵直線l與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左邊展開，整理得，mn=2m+2n-2．∴m+n=

mn+2

2

．
∵m＞0，n＞0，m+n≥2

mn

，∴

mn+2

2

≥2

mn

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立．
∴(

mn

)2-4

mn

+2≥0，
∴

mn

≥2+

2

，或

mn

≤2-

2

．∵m＞2，n＞2，∴

mn

≥2+

2

，
∴mn≥6+4

2

，此時(shí)m=n=2+

2

．
mn的最小值為：6+4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心的位置；考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，得到 m+n=

mn+2

2

是解題的關(guān)鍵．