Question

某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數(shù)為C（x）=460x+500（單位：萬元）．
（1）求利潤函數(shù)p（x）；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大？
（3）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，定義函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）=f（x+1）-f（x）．求邊際利潤函數(shù)Mp（x），并求Mp（x）單調(diào)遞減時(shí)x的取值范圍；試說明Mp（x）單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？（參考公式：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本，即p（x）=R（x）-C（x），可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從惹人確定函數(shù)的極值與最值；
（3）根據(jù)邊際函數(shù)的定義，寫出函數(shù)的關(guān)系式，配方結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求解．
解答：解：（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本，可得p（x）=R（x）-C（x）=3700x+45x²-10x³-460x-500
=-10x³+45x²+3240x-500，（x∈N^*，1≤x≤20）（3分）
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得p′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），（6分）
∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)，p′（x）＞0，當(dāng)x＜12時(shí)，p′（x）＜0．
∴x=12時(shí)，p（x）有最大值．
即年造船量安排12 艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大．（8分）
（3）∵M(jìn)p（x）=p（x+1）-p（x）
=-10（x+1）³+45（x+1）²+3240（x+1）-500-（-10x³+45x²+3240x-500）
=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，（x∈N^*，1≤x≤19）
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，Mp（x）單調(diào)遞減，x的取值范圍為[1，19]，且x∈N^*．（11分）
Mp（x）是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤在減少．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．