已知x，y，z是周長(zhǎng)等于1的三角形ABC的三邊，
（1）求證：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz   
（2）求證：x2+y2+z2≥
1
3
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）x+y+z=1代入，再利用基本不等式，即可證明；
（2）利用分析法進(jìn)行證明即可．
解答： 證明：（1）依題知 x，y，z是正數(shù)，且x+y+z=1代入
左=（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥2
yz
×2
xz
×2
xy
=8xyz；
（2）要證：x2+y2+z2≥
1
3
，
即證3（x2+y2+z2）≥1，
x+y+z=1代入即證3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，
展開后即證
x2+y2+z2≥xy+yz+zx，
由x2+y2≥2 xy，y2+z2≥2yz x2+z2≥2zx，
再同向相加得證．
∴x2+y2+z2≥
1
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分析法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，則ω的值為（　�。�
A、
2
π
B、
π
2
C、π
D、2π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖是一個(gè)由三根細(xì)棒PA、PB、PC組成的支架，三根細(xì)棒PA、PB、PC兩兩所成的角都為
60°，一個(gè)半徑為1的小球放在支架上，則球心O到點(diǎn)P的距離是（　�。�
A、
3
2
B、2
C、
3
D、
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}，其中a1=2，an-an-1=2n-1（n≥2，n∈N*）
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列bn=2log2an-1，記數(shù)列{
2
bnbn+1
}的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn＞
9
10
成立的最小正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

命題p：函數(shù)f（x）=log 
1
3
（x2-mx+3m）是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f（x）=
4
3
x3-2mx2+（4m-3）x-m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx的極小值為-8，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（
2
3
，0），如圖所示．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，SB=
29

（1）證明：SC⊥BC；
（2）求三棱錐的體積VS-ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
3
2
，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F．
（1）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．                 
（2）在線段BP上是否存在一點(diǎn)H滿足
BH
=λ
BP
，使得DH與平面DPC所成角的正弦值為
1
74
？若存在，求出λ的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx+d（a，b，c，d為常數(shù)且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)）．
（Ⅰ）若g（x）滿足：①g′（0）＞0；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x）≥0．求μ=
g(1)
g′(0)
的最小值；
（Ⅱ）若a=1且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（0，4）有f′（x）＜0．求b的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，討論關(guān)于x的方程lnx=x•g（x）的根的個(gè)數(shù)．

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