Question

交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T．其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通； T∈[4，6）輕度擁堵； T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵，晚高峰時段，從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制直方圖如圖所示．
（Ⅰ）這20個路段輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？
（Ⅱ）從這20個路段中隨機抽出的3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知底×高頻率，頻率×20=個；由頻率分布直方圖很容易知道輕度擁堵的頻率是0.3，中度擁堵的頻率是0.5．
（Ⅱ）由題意知X為0，1，2，3，列出超幾何分布的概率形式P（X=k）=

C k 10 C 3-k 10

C 3 20

（k=0，1，2，3），再列表求值，由此求出X的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）由直方圖得：
輕度擁堵的路段落個數(shù)是（0.1+0.2）×1×20=6個，
中度擁堵的路段落個數(shù)是（0.3+0.2）×1×20=10個．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 10 C 3 10

C 3 20

=

2

19

，
P（X=1）=

C 1 10 C 2 10

C 3 20

=

15

38

，
P（X=2）=

C 2 10 C 1 10

C 3 20

=

15

38

，
P（X=3）=

C 3 10 C 0 10

C 3 20

=

2

19

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 19	15 38	15 38	2 19

EX=0×

2

19

+1×

15

38

+2×

15

38

+3×

2

19

=

3

2

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查超幾何分布，考查離散型隨機變量的分布列的求法及數(shù)學期望，是中檔題．