Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點過F，過H（-

p

2

，0）引直線l交此拋物線于A，B兩點．
（1）若直線AF的斜率為2，求直線BF的斜率；
（2）若p=2，點M在拋物線上，且

FA

+

FB

=t

FM

，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）分別過A，B作準線的垂線，垂足分別是A₁，B₁可知AF=AA₁，BF=BB₁，進而根據(jù)

AF

BF

=

AA1

BB1

=

HA

HB

的比例關(guān)系，把邊轉(zhuǎn)換為角的正弦，求得sin∠AFH=sin∠BFH，進而根據(jù)∠AFH=180°-∠BFH=∠BFx，推斷出k_BF+k_AF=0，求得答案．．
（2）依題意可知，拋物線為y2=4x，直線l的斜率k存在且k≠0，l的方程為y=k（x+1），設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程消去y，根據(jù)△＞0求得k的一個范圍，利用韋達定理和已知向量的關(guān)系，求得M點的橫坐標和縱坐標的表達式，進而組件k和t的關(guān)系式，利用k范圍求得t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）分別過A，B作準線的垂線，垂足分別是A₁，B₁
則AF=AA₁，BF=BB₁，
∴

AF

BF

=

AA1

BB1

=

HA

HB

，
∴

AF

BF

=

HA

HB

，
∴

AF

HA

=

BF

HB

…①
△AHF中，

AF

HA

=

sin∠AHF

sin∠AFH

…②，
△BHF中，

BF

HB

=

sin∠AHF

sin∠BFH

…③
將②③代入①，得

sin∠AHF

sin∠AFH

=

sin∠AHF

sin∠BFH

，
∴sin∠AFH=sin∠BFH
∴∠AFH=180°-∠BFH=∠BFx，
∴k_BF+k_AF=0，
∴k_BF=-k_AF=-2．
（Ⅱ）依題意可知，拋物線為y2=4x，直線l的斜率k存在且k≠0，l的方程為y=k（x+1），設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足

y=k(x+1) y2=4x

，
即x₁，x₂滿足k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，
∴k²＜1，
且x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1設(shè)M（x₀，y₀），由

FB

+

FA

=t

FM

，其中t≠0，
得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=t（x₀-1，y₀），
∴

x0= x1+x2-2 t +1 y0= y1+y2 t

，
而y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

4

k

，代入

y

2 0

=x₀，得（

4

kt

）²=4（

4-2k2 k2 -2

t

+1），
化為：k²t²-4k²t+4t=4得，k²=

4-4t

t2-4t

，而k²＜1，
且k≠0，
∴t＜-2，或0＜t＜1，或1＜t＜2，或t＞4．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的位置關(guān)系，難度偏高，在考試常作為壓軸題，考查了學生分析問題和推理的能力．