Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-2tx+3lnx，g（x）=

x+t

x2+3

，函數(shù)f（x）在x=a，x=b處取得極值，其中0＜a＜b．
（1）求實(shí)數(shù)t的范圍；
（2）判斷g（x）在[-b，-a]上單調(diào)性；
（3）已知g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大

1

3

，若方程f（x）=m有3個(gè)不同的解，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）問(wèn)題等價(jià)于f′(x)=x-2t+

3

x

=0有兩個(gè)不等正根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程x²-2tx+3=0有兩個(gè)不等正根a，b，從而轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的問(wèn)題，由判別式、對(duì)稱(chēng)軸、端點(diǎn)處函數(shù)值可得不等式組，解出即可；
（2）求導(dǎo)數(shù)g′(x)=

(x2+3)-(x+t)2x

(x2+3)2

=

-x2-2tx+3

(x2+3)2

，根據(jù)題設(shè)得：a+b=2t，ab=3，令h（x）=-x²-2tx+3=-（x+t）²+3+t²程由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值，可判斷h（x）的符號(hào)，進(jìn)而可判斷g′（x）的符號(hào)，由此可得單調(diào)性；
（3）由（2）可知g（x）在[-b，-a]上單調(diào)遞增，從而可得g（x）的最大值、最小值，根據(jù)最大值比最小值大

1

3

可得方程，解出a，b，從而可得f（x），用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的極值，由方程f（x）=m有3個(gè)不同的解知，f（x）_極小值＜m＜f（x）_極大值，可得m的范圍；

解答：解：（1）f′(x)=x-2t+

3

x

=0有兩個(gè)不等正根，即方程x²-2tx+3=0有兩個(gè)不等正根a，b，
∴△=4t²-12＞0且f'（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=t＞0及f'（0）=3＞0，
解得：t＞

3

；
（2）g′(x)=

(x2+3)-(x+t)2x

(x2+3)2

=

-x2-2tx+3

(x2+3)2

，
根據(jù)題設(shè)得：a+b=2t，ab=3，
令h（x）=-x²-2tx+3=-（x+t）²+3+t²
∵h(yuǎn)（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-t=-

a+b

2

，
∴h（x）在[-b，-a]上的最小值為h（-a）=h（-b）=-a²+2at+3=-a²+a（a+b）+3=6＞0，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[-b，-a]上單調(diào)遞增；
（3）由（2）可知g（x）在[-b，-a]上單調(diào)遞增，
g(x)max-g(x)min=g(-a)-g(-b)=

-a+t

a2+3

-

-b+t

b2+3

=

1

3

，
∴

(b-a)(3-ab+t(b+a))

(a2+3)(b2+3)

=

1

3

，
∵a+b=2t，ab=3，0＜a＜b，
解得：a=1，b=3，
∴f(x)=

1

2

x2-4x+3lnx，∴f′(x)=x-4+

3

x

=

(x-1)(x-3)

x

，
∴f（x）在（0，1），（3，+∞）上遞增，在（1，3）上遞減，
∵f(1)=-

7

2

，f(3)=-

15

2

+3ln3，
∴當(dāng)-

15

2

+3ln3＜m＜-

7

2

時(shí)，方程f（x）=m有3解，
∴m的范圍為(-

15

2

+3ln3，-

7

2

)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．