Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若a=2，求f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f（2），再求出導(dǎo)數(shù)f'（x），從而求出f‘（2）即為切線的斜率，再用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程并化為一般式；
（2）首先求出導(dǎo)數(shù)f'（x），再求出函數(shù)f（x）的極值，注意范圍[0，4]，列表說(shuō)明，再把端點(diǎn)的函數(shù)值和極值比較即得最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x³-6x²+6x，
導(dǎo)數(shù)f'（x）=6x²-12x+6，
所以f'（2）=6×2²-12×2+6=6，
又因?yàn)閒（2）=2×2³-6×2²+6×2=4，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-4=6（x-2），即6x-y-8=0．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x³-9x²+12x，
導(dǎo)數(shù)f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，得x₁=1，x₂=2．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f'（x）	12	+	0	-	0	+	36
f（x）	0	單調(diào)遞增	極大值5	單調(diào)遞減	極小值4	單調(diào)遞增	32

比較f（0）、f（1）、f（2）、f（4）的大小可知f（0）最小，
故函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求某點(diǎn)處的切線方程以及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，解題時(shí)要注意該點(diǎn)是不是切點(diǎn)，求得的極值點(diǎn)在不在給定的閉區(qū)間內(nèi)，本題屬于基礎(chǔ)題．