Question

3．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直線l與曲線C的交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ，可求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求出直線的普通方程，可得圓心到直線的距離，利用勾股定理求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4（sinθ+cosθ），
兩邊同乘以ρ，得x²+y²=4y+4x，
∴它的直角坐標方程為：（x-2）²+（y-2）²=8；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為x+y-2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2+2-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題重點考查了曲線的參數(shù)方程和極坐標方程，直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．