Question

設(shè)橢圓

x2

m+1

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）．
（1）設(shè)E是直線y=x+2與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求使得|EF₁|+|EF₂|取最小值時(shí)橢圓的方程；
（2）已知N（0，-1）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線l與條件（1）下的橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足

AQ

=

QB

，且

NQ

•

AB

=0，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知m＞0．由

y=x+2 x2 m+1 +y2=1

，得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2，或m≤-1（舍去）．此時(shí)|EF1|+|EF2|=2

m+1

≥2

3

．由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．由方程組

x2+3y2=3 y=kx+t

，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6kt

1+3k2

．由

AQ

=

QB

，得Q為線段AB的中點(diǎn)，由此能求出截距t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，知m+1＞1，即m＞0．
由

y=x+2 x2 m+1 +y2=1

得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
解得m≥2，或m≤-1（舍去）∴m≥2（3分）
此時(shí)|EF1|+|EF2|=2

m+1

≥2

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，|EF₁|+|EF₂|．取得最小值2

3

，
此時(shí)橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．
由方程組

x2+3y2=3 y=kx+t

，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．∵直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6kt

1+3k2

．
由

AQ

=

QB

，得Q為線段AB的中點(diǎn)，
則xQ=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，yQ=kxQ+t=

t

1+3k2

．∵

NQ

•

AB

=0，
∴k_AB•k_QN=-1，[來源：學(xué)，科，即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1．
化簡得1+3k²=2t．代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k2＞1，得t＞

1

2

．
所以，直線l在y軸上的截距t的取值范圍是(

1

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和截距t的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，利用橢圓性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．