Question

20．設函數(shù)f（x）=x²-ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx²-ax+1＞0的解集；
（2）當b=3-a時，對任意的x∈（-1，0]都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，解不等式求出其解集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤${（\frac{{x}^{2}+3}{x+1}）}_{min}$，設t=x+1，則t∈（0，1]，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵不等式x²-ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴x=2，x=3是方程x²-ax+b=0的解，
由韋達定理得：a=5，b=6，
故不等式bx²-ax+1＞0為6x²-5x+1＞0，
解不等式6x²-5x+1＞0，
得其解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{1}{2}$}．
（2）據(jù)題意x∈（-1，0]，f（x）=x²-ax+3-a≥0恒成立，
則可轉(zhuǎn)化為a≤${（\frac{{x}^{2}+3}{x+1}）}_{min}$，
設t=x+1，則t∈（0，1]，
$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=$\frac{{（t-1）}^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-2關于t遞減，
所以${（t+\frac{4}{t}-2）}_{min}$=1+4-2=3，
∴a≤3．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．