Question

（2012•海淀區(qū)二模）將一個(gè)正整數(shù)n表示為a₁+a₂+…+a_p（p∈N^*）的形式，其中a_i∈N^*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，記所有這樣的表示法的種數(shù)為f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）寫出f（3），f（5）的值，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）證明：f（n+1）-f（n）≥1（n=1，2，…）；
（Ⅲ）對(duì)任意正整數(shù)n，比較f（n+1）與

1

2

[f(n)+f(n+2)]的大小，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定義，即可寫出f（3），f（5）的值；
（Ⅱ）因?yàn)閚+1≥2，把n+1的一個(gè)表示法中a₁=1的a₁去掉，就可得到一個(gè)n的表示法；反之，在n的一個(gè)表示法前面添加一個(gè)“1+”，就得到一個(gè)n+1的表示法，即n+1的表示法中a₁=1的表示法種數(shù)等于n的表示法種數(shù)，故可得結(jié)論；
（Ⅲ）證明f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）即可．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)?=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．
因?yàn)?=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以f（5）=7．
（Ⅱ）證明：因?yàn)閚+1≥2，把n+1的一個(gè)表示法中a₁=1的a₁去掉，就可得到一個(gè)n的表示法；反之，在n的一個(gè)表示法前面添加一個(gè)“1+”，就得到一個(gè)n+1的表示法，即n+1的表示法中a₁=1的表示法種數(shù)等于n的表示法種數(shù)，
所以 f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a₁≠1的表示法數(shù)．
即 f（n+1）-f（n）≥1．
（Ⅲ）解：結(jié)論是f（n+1）≤

1

2

[f(n)+f(n+2)]．
證明如下：由結(jié)論知，只需證 f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
由（Ⅱ）知：f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a₁≠1的表示法數(shù)，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a₁≠1的表示法數(shù)．
考慮到n+1≥2，把一個(gè)a₁≠1的n+1的表示法中的a_p加上1，就可變?yōu)橐粋�(gè)a₁≠1的n+2的表示法，這樣就構(gòu)造了從a₁≠1的n+1的表示法到a₁≠1的n+2的表示法的一個(gè)對(duì)應(yīng)，所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生對(duì)新情境問(wèn)題的理解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．