已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，
3
)，以右焦點(diǎn)F2為圓心作圓與兩條漸近線相切，圓面積恰為12π．
（1）求雙曲線的方程；
（2）任作一直線l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，與漸近線交于兩點(diǎn)C，D，A在B，C兩點(diǎn)之間，求證：|AC|=|BD|．
（1）∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，
3
)，∴
b
a
=
3
2
，
∴一條漸近線方程方程
3
x-2y=0
∵圓面積為12π，∴圓的半徑為2
3

∵以右焦點(diǎn)F2為圓心作圓與兩條漸近線相切
∴
|
3
c|
7
=2
3
，∴c=2
7

∴a2=16，b2=12
∴雙曲線的方程為
x2
16
-
y2
12
=1；
（2）證明：設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程可得（3m2-4）y2+6mny+3n2-48=0
又雙曲線的漸近線方程為
x2
16
-
y2
12
=0，直線方程代入可得（3m2-4）y2+6mny+3n2=0
∵直線l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，與漸近線交于兩點(diǎn)C，D，A在B，C兩點(diǎn)之間，
∴AB、CD 的中點(diǎn)重合
∴|AC|=|BD|．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過(guò)其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問(wèn)：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過(guò)定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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