【答案】
分析:(Ⅰ)證明BC⊥AM,可證BC⊥面ACM,由CC
1⊥底面ABC得到BC⊥CM,在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC,由線面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM,則問題得證;
(Ⅱ)過N作NP∥BB
1交AB
1于P,連結MP,由已知及三角形相似可證得四邊形MCNP是平行四邊形,從而得到線線平行,進一步利用線面平行的判定定理得到線面平行;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知CA,CB,CC
1為三條兩兩相互垂直的直線,以C為原點,CA,CB,CC
1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,然后利用空間向量求二面角A-MB
1-C的大�。�
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/images0.png)
(Ⅰ)證明:因為三棱柱ABC-A
1B
1C
1中CC
1⊥平面ABC,
所以 CC
1⊥BC.
因為AC=BC=2,AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/0.png)
,
所以,由勾股定理的逆定理知BC⊥AC.
又因為AC∩CC
1=C,
所以BC⊥平面ACC
1A
1因為AM?平面ACC
1A
1,
所以BC⊥AM;
(Ⅱ)證明:如圖,
過N作NP∥BB
1交AB
1于P,連結MP,則
NP∥CC
1,且△ANP∽△ABB
1.
于是有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/1.png)
.
由已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/2.png)
,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/3.png)
.
因為BB
1=CC
1.
所以NP=CM.
所以四邊形MCNP是平行四邊形.
所以CN∥MP.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/images5.png)
因為CN?平面AB
1M,MP?平面AB
1M,
所以CN∥平面AB
1M;
(Ⅲ)因為BC⊥AC,且CC
1⊥平面ABC,
所以以C為原點,CA,CB,CC
1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz.
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/4.png)
,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B
1(0,2,4),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/5.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/6.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/7.png)
.
設平面AMB
1的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/8.png)
,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/9.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/10.png)
,
令x=5,則y=-3,z=4,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/11.png)
.
又平面MB
1C的一個法向量是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/12.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/13.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/14.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/15.png)
.
由圖可知二面角A-MB
1-C為銳角,
所以二面角A-MB
1-C的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124419385197518/SYS201310251244193851975015_DA/16.png)
.
點評:本題考查了直線與平面平行的判定,考查了直線與平面垂直的判定,證明的關鍵是進口兩個判定定理的條件,訓練了利用平面法向量求二面角的大小,關鍵是會求平面的法向量,是中檔題.