如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點,且=,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=,求二面角A-MB1-C的大�。�

【答案】分析:(Ⅰ)證明BC⊥AM,可證BC⊥面ACM,由CC1⊥底面ABC得到BC⊥CM,在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC,由線面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM,則問題得證;
(Ⅱ)過N作NP∥BB1交AB1于P,連結MP,由已知及三角形相似可證得四邊形MCNP是平行四邊形,從而得到線線平行,進一步利用線面平行的判定定理得到線面平行;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知CA,CB,CC1為三條兩兩相互垂直的直線,以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,然后利用空間向量求二面角A-MB1-C的大�。�
解答:(Ⅰ)證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC,
所以 CC1⊥BC.     
因為AC=BC=2,AB=
所以,由勾股定理的逆定理知BC⊥AC. 
又因為AC∩CC1=C,
所以BC⊥平面ACC1A1
因為AM?平面ACC1A1,
所以BC⊥AM;
(Ⅱ)證明:如圖,
過N作NP∥BB1交AB1于P,連結MP,則
NP∥CC1,且△ANP∽△ABB1
于是有
由已知,有
因為BB1=CC1
所以NP=CM.
所以四邊形MCNP是平行四邊形.  
所以CN∥MP.   
因為CN?平面AB1M,MP?平面AB1M,
所以CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)因為BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC,
所以以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz.
因為,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),,
,
設平面AMB1的法向量
,即,
令x=5,則y=-3,z=4,即
又平面MB1C的一個法向量是,
所以==.   
由圖可知二面角A-MB1-C為銳角,
所以二面角A-MB1-C的大小為
點評:本題考查了直線與平面平行的判定,考查了直線與平面垂直的判定,證明的關鍵是進口兩個判定定理的條件,訓練了利用平面法向量求二面角的大小,關鍵是會求平面的法向量,是中檔題.
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2
,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點,且
AN
AB
=
CM
CC1
,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
,求二面角A-MB1-C的大�。�

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