Question

求證：0≤a＜

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是不等式ax²-ax+1-a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件．

Answer 1

分析：一元二次不等式ax²-ax+1＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，y=ax²-ax+1-a的圖象在x軸上方，

a＞0  △＜0

，由此能夠求出a的取值范圍，從而得到證明．

解答：證明：充分性：∵0＜a＜

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，
∴△=a²-4a（1-a）=5a²-4a=a（5a-4）＜0，
則ax²-ax+1-a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．
而當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-ax+1-a＞0可變成1＞0．
顯然當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-ax+1-a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．
必要性：∵ax²-ax+1-a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
∴a=0或

a＞0 △=a2-4a 1-a＜0

解得0≤a＜

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．
故0≤a＜

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是不等式ax²-ax+1-a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要抓住二次函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)的特點(diǎn)進(jìn)行求解．主要考查了二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題分兩類(lèi)，一是大于0恒成立須滿足開(kāi)口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開(kāi)口向下，且判別式小于0．