Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點(diǎn)
（1）求證：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立坐標(biāo)系，求出直線PA所在的向量與平面CDM內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直．
（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量間的運(yùn)算關(guān)系求出兩個(gè)向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：解：（1）作PO⊥CD于O，連接OA
由側(cè)面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
則∠DOA=90°，即OA⊥CD
分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知
所以，
所以PA⊥CM，PA⊥DC
又由CM∩DC=C，
所以PA⊥面CDM．
（2）設(shè)面MCB的法向量為
由，
取x=1，可得．
由（1）PA⊥面CDM，取面CDM的法向量為
所以，
如圖二面角D-MC-B為鈍二面角設(shè)其大小為θ，
則
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征便于建立坐標(biāo)系，進(jìn)而利用空間向量解決空間角，空間距離與線面關(guān)系等問(wèn)題．